Доказательство формулы суммы квадратов

29.06.2025 в 1:13

Формула суммы квадратов первых n натуральных чисел утверждает, что 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Рассмотрим различные методы доказательства этого математического тождества.

Математическая индукция

Базис индукции

При n = 1: 1² = 1 = 1(1+1)(2·1+1)/6 = 1·2·3/6 = 1. Базис выполняется.

Индукционный переход

Предположим, что формула верна для n = k: 1² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6.

Докажем для n = k+1:

• 1² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
• = (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]
• = (k+1)(2k²+k+6k+6)/6
• = (k+1)(2k²+7k+6)/6
• = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что соответствует формуле при n = k+1.

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим количество упорядоченных троек (a,b,c), где 1 ≤ a,b ≤ c ≤ n+1:

Приравнивая оба выражения, получаем искомую формулу.

Геометрическая интерпретация

Пирамида из квадратов

• Представим сумму квадратов как трехмерную пирамиду
• Объем можно аппроксимировать интегралом ∫x²dx от 0 до n
• Точная сумма дает формулу, аналогичную интегральной

Алгебраический метод

Используем тождество (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1:

1. Запишем это равенство для k от 1 до n
2. Просуммируем все уравнения
3. После сокращений получим выражение для суммы квадратов

Пример вычисления

Применение формулы

• Вычисление моментов инерции в физике
• Статистические расчеты
• Анализ алгоритмов в информатике
• Решение задач на суммирование