Шторы с доставкой

Доказательство формулы суммы квадратов

Дата публикации

29.06.2025 в 1:13

Формула суммы квадратов первых n натуральных чисел утверждает, что 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Рассмотрим различные методы доказательства этого математического тождества.

Математическая индукция

Базис индукции

При n = 1: 1² = 1 = 1(1+1)(2·1+1)/6 = 1·2·3/6 = 1. Базис выполняется.

Индукционный переход

Предположим, что формула верна для n = k: 1² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6.

Докажем для n = k+1:

  • 1² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
  • = (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]
  • = (k+1)(2k²+k+6k+6)/6
  • = (k+1)(2k²+7k+6)/6
  • = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что соответствует формуле при n = k+1.

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим количество упорядоченных троек (a,b,c), где 1 ≤ a,b ≤ c ≤ n+1:

Способ подсчетаКоличество
Через сумму квадратов∑(c=1 to n)(c²) + ∑(c=1 to n)c
Через комбинации(n+2)(n+1)n/3

Приравнивая оба выражения, получаем искомую формулу.

Геометрическая интерпретация

Пирамида из квадратов

  • Представим сумму квадратов как трехмерную пирамиду
  • Объем можно аппроксимировать интегралом ∫x²dx от 0 до n
  • Точная сумма дает формулу, аналогичную интегральной

Алгебраический метод

Используем тождество (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1:

  1. Запишем это равенство для k от 1 до n
  2. Просуммируем все уравнения
  3. После сокращений получим выражение для суммы квадратов

Пример вычисления

nСумма квадратовПо формуле
31+4+9=143·4·7/6=14
51+4+9+16+25=555·6·11/6=55

Применение формулы

  • Вычисление моментов инерции в физике
  • Статистические расчеты
  • Анализ алгоритмов в информатике
  • Решение задач на суммирование

Похожие статьи

Ознакомьтесь с другими похожими статьями, которые могут быть вам полезны.

Система Быстрых Платежей (СБП) устанавливает единые максимальные лимиты для всех участников системы. Эти огран…

Инвестирование позволяет увеличивать капитал, но рано или поздно возникает необходимость вывести заработанные …

Подписка МТС Премиум предоставляет доступ к различным цифровым сервисам, но при необходимости ее можно отключи…

Протокол комиссии - официальный документ, фиксирующий ход и результаты работы коллегиального органа. Рассмотри…

Определить информацию о номере Билайн можно несколькими способами. В этой статье рассмотрены методы проверки п…

При работе с банковскими продуктами Тинькофф могут потребоваться различные коды. В этой статье мы расскажем, г…

Процедура выхода учредителя из состава ООО, который одновременно является директором, имеет юридические особен…

Портал Госуслуги позволяет дистанционно оформить различные государственные выплаты. Рассмотрим процесс подачи …

Навязчивые звонки от кредиторов или коллекторов могут серьезно осложнить жизнь. Рассмотрим эффективные способы…


Новинки