Компьютерные столы с доставкой

Доказательство формулы суммы квадратов

Дата публикации

29.06.2025 в 1:13

Формула суммы квадратов первых n натуральных чисел утверждает, что 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Рассмотрим различные методы доказательства этого математического тождества.

Математическая индукция

Базис индукции

При n = 1: 1² = 1 = 1(1+1)(2·1+1)/6 = 1·2·3/6 = 1. Базис выполняется.

Индукционный переход

Предположим, что формула верна для n = k: 1² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6.

Докажем для n = k+1:

  • 1² + ... + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
  • = (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]
  • = (k+1)(2k²+k+6k+6)/6
  • = (k+1)(2k²+7k+6)/6
  • = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что соответствует формуле при n = k+1.

Комбинаторное доказательство

Рассмотрим количество упорядоченных троек (a,b,c), где 1 ≤ a,b ≤ c ≤ n+1:

Способ подсчетаКоличество
Через сумму квадратов∑(c=1 to n)(c²) + ∑(c=1 to n)c
Через комбинации(n+2)(n+1)n/3

Приравнивая оба выражения, получаем искомую формулу.

Геометрическая интерпретация

Пирамида из квадратов

  • Представим сумму квадратов как трехмерную пирамиду
  • Объем можно аппроксимировать интегралом ∫x²dx от 0 до n
  • Точная сумма дает формулу, аналогичную интегральной

Алгебраический метод

Используем тождество (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1:

  1. Запишем это равенство для k от 1 до n
  2. Просуммируем все уравнения
  3. После сокращений получим выражение для суммы квадратов

Пример вычисления

nСумма квадратовПо формуле
31+4+9=143·4·7/6=14
51+4+9+16+25=555·6·11/6=55

Применение формулы

  • Вычисление моментов инерции в физике
  • Статистические расчеты
  • Анализ алгоритмов в информатике
  • Решение задач на суммирование

Похожие статьи

Ознакомьтесь с другими похожими статьями, которые могут быть вам полезны.

Оформление SIM-карты МегаФона доступно несколькими способами. Рассмотрим все варианты получения новой SIM-карт…

Начисление заработной платы представляет собой строго регламентированный процесс, зависящий от формы оплаты тр…

МТС предоставляет несколько способов временного отключения номера, если вам нужно приостановить услуги связи н…

Декларация 3-НДФЛ подается для отчета о доходах и получения налоговых вычетов. В 2025 году форма декларации пр…

Mixx от Tele2 – это пакет услуг, включающий интернет, минуты и SMS. Если услуга вам больше не нужна, ее можно …

В праздничные дни работа Госавтоинспекции имеет особый режим, направленный на обеспечение безопасности дорожно…

Управление уведомлениями по банковской карте позволяет контролировать получаемые сообщения от Сбербанка. Рассм…

Пополнение баланса Steam позволяет приобретать игры и другие цифровые товары в магазине. Рассмотрим актуальные…

Если у вас нет доступа к номеру телефона, привязанному к Сбербанк Онлайн, можно использовать:


Новинки